← все задачи

🔢 Задача 4. Системы счисления

Хочешь сразу играть? Перейти к тренажёру ↓

1. Склад: запись числа — это отчёт об упаковке

Представь склад камешков. Есть договор: сколько штук кладём в одну коробку. Это и есть основание системы счисления. Коробки тоже складываем по столько же в ящик, ящики — в контейнер. Запись числа — отчёт кладовщика: сколько контейнеров, ящиков, коробок и штук.

Нам привычно паковать по 10: на руках 10 пальцев. Компьютеру удобно по 2: в проводе ток либо есть, либо нет. Камешки те же, меняется только запись. Маленькое число внизу показывает основание: 1012 — это двоичная запись.

Пакуем по:

Откуда взялось «10» Запись 10 всегда значит «одна упаковка и ноль штук». Поэтому основание в своей системе всегда пишется как 10: 102 = 2, 108 = 8, 1016 = 16.
Цифр столько же, сколько основание Самая большая цифра на 1 меньше основания: основание — как забор, на него не залезешь. Набралось 8 штук? Они уже уехали в коробку, поэтому в восьмеричной цифры 8 нет.

2. Из любой системы в десятичную: у каждой цифры своя цена

Цифра сама по себе мало что значит: важно, где она стоит. Самая правая стоит 1, следующая в основание раз больше, и так далее. Нажимай на цифры, чтобы менять их, и собери заданное число.

Основание:
Рецепт: подпиши цены, умножь, сложи 10112: цены справа налево 1, 2, 4, 8.
1·8 + 0·4 + 1·2 + 1·1 = 11
Снежный ком: считаем без степеней Идём слева направо: умножь на основание, прибавь цифру.
10112: 1 → 1·2+0 = 2 → 2·2+1 = 5 → 5·2+1 = 11. Ком катится, растёт, и в конце получается всё число.

3. Из десятичной в любую: лесенка делений

Это та же упаковка со склада! Каждое деление — один круг: частное уезжает в следующий разряд, а остаток — это штуки, которым не хватило упаковки. Он и становится цифрой.

Основание:
Остатки — как пузырьки: читаем снизу вверх Пузырёк, родившийся последним, оказывается самым первым в числе. Первый остаток — это единицы, поэтому он стоит в записи справа, в самом конце.
Гири для двоичной Взвешивай число гирями 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1: каждая гиря есть в одном экземпляре. Берём самую большую, что влезает.
37 = 32 + 4 + 1, значит единицы на местах 32, 4 и 1: 1001012.

4. Короткие мосты: 2 ↔ 8 ↔ 16

Двоичные числа длинные, людям их неудобно читать. Но 8 = 2³, а 16 = 2⁴, поэтому переводить можно без всякого счёта: режем биты на кусочки по 3 или по 4, начиная справа. Нажимай на биты и смотри, как меняются цифры.

3 бита — 8, 4 бита — 16 Запомни пару «восемь — три, шестнадцать — четыре»: это степень двойки. Поэтому одна шестнадцатеричная цифра — ровно 4 бита.
Режем с хвоста, как колбасу Группы считаем только справа налево. Если слева кусочек короткий, дописываем нули: 10 11012 → 0010 1101 → 2D16.
8-4-2-1: код любой тетрады Над четырьмя битами всегда цены 8, 4, 2, 1. 1010 = 8 + 2 = 10 = A. Все единицы — полный бак: 1111 = 15 = F (F, как Full).
Из 8 в 16 — через двоичную Прямого моста нет, идём через остров: каждую цифру разворачиваем в 3 бита, потом режем по 4.

Таблица-шпаргалка: цифра, её значение и 4 бита. Буквы нужны, потому что значения 10–15 должны занимать одну клетку.

5. Лайфхаки для олимпиады

Степени двойки — таблица умножения программиста 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024. Просто удваивай, пока не запомнится само.
Приписал ноль — умножил на основание У нас 7 → 70 в 10 раз больше. В двоичной 101 → 1010 в 2 раза больше. Это и есть сдвиг влево. Сдвиг вправо — деление на 2 без остатка.
Самое большое число из k цифр 999 = 1000 − 1. Так же 111112 = 100000₂ − 1 = 32 − 1 = 31. Формула: основаниеk − 1.
Последняя цифра — это остаток Последняя цифра равна остатку от деления на основание. В двоичной конец 0 — число чётное, 1 — нечётное. Если число 23 оканчивается на 2, значит 21 делится на основание.
Сравнивай по-честному Сравнивать записи разных систем нельзя: 1002 = 4, а 2010 = 20. Сначала всё в десятичную, потом сравниваем.
Шутка, чтобы проверить себя «Есть 10 типов людей: те, кто понимает двоичную систему, и те, кто не понимает». Если улыбнулся, всё в порядке 😄

6. Тренажёр: реши 10 задач — получи медаль

⭐ Очки: 0 🔥 Подряд без ошибок: 0 ✅ Решено: 0 / 10